ایک تثلیاتی عنصر کرنے کا طریقہ

مواد

• مراحل
• حصہ 1 x + bx + c کو عامل بنانا سیکھنا
• حصہ 2 مزید پیچیدہ ترنمائوں کو عنصر بنانا سیکھنا
• حصہ 3 ترینوئملائزیشن کے کچھ خاص معاملات

اس مضمون میں: x2 + bx کو عامل بنانا سیکھنا مزید پیچیدہ تریومینیوں کو عنصر بنانا سیکھیں ترینیومل عنصر کے کچھ خاص معاملات 6 حوالہ جات

جیسا کہ اس کا نام اشارہ کرتا ہے ، ایک تثلیثی ایک ریاضیاتی اظہار ہے جو تین شرائط کی رقم کی شکل اختیار کرتا ہے۔ اکثر اوقات ، ہم دوسری ڈگری کے ترنمائوں کا مطالعہ کرنا شروع کرتے ہیں جو اس طرح سبسکرائب کرتے ہیں: ax + bx + c. دوسری ڈگری کے ایک ٹرومامیئل کو عیسی کرنے کے بہت سے طریقے ہیں۔ مشق کے ساتھ ، آپ بغیر کسی مشکل کے وہاں پہنچ جائیں گے۔ ہم جن طریقوں کو دیکھنے جا رہے ہیں ان کا اطلاق اعلی ڈگری (x یا x کے ساتھ) کے تین الفاظ پر نہیں ہوتا ہے۔ تاہم ، ان آخری ترینوئیلز کو کام کرنے سے ، کوئی دوسرا ڈگری کے ٹرموملز پر واپس آسکتا ہے۔ ہم یہ سب تفصیل سے دیکھتے ہیں۔

مراحل

حصہ 1 x + bx + c کو عامل بنانا سیکھنا

1. 
   

   
   ایس آئی ڈی ایس کا طریقہ استعمال کریں۔ آپ کو یہ معلوم ہوسکتا ہے ، لیکن آئیے یاد رکھیں کہ یہ سب کیا ہے۔ جب آپ کو بائنومیئلز - (x + 2) (x + 4) کی کوئی مصنوع تیار کرنا ہو تو ، آپ کو "اول ، خارجی ، داخلی ، آخری" ترتیب میں مختلف شرائط کی مصنوعات کا مجموعہ کرنا ہوگا۔ تفصیل سے ، یہ دیتا ہے:
   • ضرب لگانا پہلے ان کے درمیان شرائط:ایکس+2)(ایکس+4) = ایکس + __
   • شرائط کو ضرب دیں بیرونی ان کے درمیان: (ایکس2) (X +4) = x + 4X + __
   • شرائط کو ضرب دیں اندرونی ان کے درمیان: (x +2)(ایکس+4) = x + 4x + 2X + __
   • ضرب لگانا تازہ ترین ان کے مابین شرائط: (x +2) (X +4) = x + 4x + 2x + 8
   • آسان کر کے ختم کریں: x + 4x + 2x + 8 = x + 6X + 8

2. 
   

   
   
   
   سمجھیں کہ عنقا کیا ہے؟ جب آپ دو جوڑیوں کی پیداوار تیار کرتے ہیں تو ، آپ کو شکل کی ایک چھوٹی سی شکل مل جاتی ہے۔ ہےX +بX +ج، a ، b اور c اصلی نمبر ہیں۔ جب ہم ریورس آپریشن کرتے ہیں تو ، تثلیث سے لے کر بائنومیئل پروڈکٹ تک جاتے ہیں ، ہم کہتے ہیں کہ ہم factorises.
   • وضاحت کی خاطر ، بجلی کو کم ہونے کی ترتیب میں ایک تریومیئل کی شرائط کا درجہ دینا ضروری ہے۔ لہذا ، اگر ہم آپ کو دیں: 3x - 10 + x، آپ کو ترتیب میں دوبارہ لکھنا ہوگا: x + 3x - 10.
   • سب سے بڑا خاکہ 2 (x) ہونے کی حیثیت سے ، ہم "دوسری ڈگری" کے تذکرہ کی بات کرتے ہیں۔

3. 
   

   
   عوامل کے آغاز میں ، ہم نے دو ماہی کی مصنوعات کی شکل ڈال دی۔ لکھیں: (__ __)(__ __). ہم بتدریج خالی جگہوں کے ساتھ ساتھ نشانیاں بھی بھریں گے۔
   • اس لمحے کے لئے ہم دو قاعدہ کی دو شرائط کے مابین کوئی نشان (+ یا -) نہیں رکھیں گے۔

4. 
   

   
   
   
   آپ کو ہر جوڑی کی پہلی شرائط تلاش کرکے شروع کرنا ہوگا۔ اگر آپ کا ٹرمینئل x سے شروع ہوتا ہے تو ، جوڑے کی پہلی دو شرائط لازمی طور پر ہوں گی ایکس اور ایکسچونکہ x بار x = x۔
   • ہمارا ابتدائی سہ رخی وجود: x + 3x - 10 اور چونکہ x پر کوئی قابلیت نہیں ہے ، لہذا ہم فوری طور پر لکھ سکتے ہیں:
   • (x __) (x __)
   • ہم بعد میں دیکھیں گے کہ جب x کا قابلیت 6 سے x یا -x کی طرح 1 سے مختلف ہو تو کس طرح آگے بڑھتا ہے۔ اس لمحے کے لئے ، ہمارے پاس یہ آسان سا معاملہ باقی ہے۔

5. 
   

   
   یہ اندازہ لگانے کی کوشش کریں کہ جوڑوں کی آخری شرائط کیا ہوں گی۔ جائزہ لیں کہ ، PEID طریقہ کے ساتھ ، بائنوملز کی آخری شرائط کو کس طرح تیار کیا گیا ہے۔ ہمیں اب اس کے برعکس کرنا چاہئے۔ اس کے بعد ہم نے سہ رخی کی آخری مدت ("مستقل") حاصل کرنے کے لئے آخری دو شرائط کو ضرب کیا۔ لہذا ، آپ کو دو نمبر ڈھونڈنے ہوں گے ، جو ان کے درمیان کئی گنا بڑھ جائیں گے ، جو آپ کو تثلیث کا مستقل مزاج فراہم کریں گے۔
   • ہماری مثال میں: x + 3x - 10 ، مستقل -10 ہے۔
   • -10 کے عوامل کیا ہیں؟ وہ کون سی دو تعداد ہیں جو ان کے درمیان کئی گنا ہیں ، جو آپ کو بتائے گی؟
   • یہاں تمام ممکنہ معاملات ہیں: -1 ایکس 10 ، 1 ایکس -10 ، -2 ایکس 5 اور 2 ایکس -5۔ آپ کو یاد رکھنے کے لئے یہ امتزاج کہیں لکھ دیں۔
   • ابھی کے ل your ، آپ کا دو طرفہ مصنوع بدلا ہوا ہے۔ وہ ہمیشہ ایسا ہی نظر آتا ہے: (x __) (x __).

6. 
   

   
   مختلف مجموعے کی جانچ کریں۔ مستقل سے ، آپ نے عوامل کے کچھ امتزاجوں کی نشاندہی کرنے میں کامیاب کیا ہے ، جس میں کسی کو کام کرنا چاہئے (اگر ترینیئل کم ہوتا ہے)۔ اس مقام پر ، ہر ایک امتزاج کو جانچنے کے علاوہ کوئی دوسرا حل نہیں ہے تاکہ یہ معلوم کیا جاسکے کہ ان میں سے کوئی بھی ترینوئیل کو راضی کرتا ہے یا نہیں مثال کے طور پر:
   • ہماری مثال میں ، "بیرونی" اور "اندرونی" مصنوع کا مجموعہ 3x ہونا ضروری ہے (ایکس + سے لیا گیا) 3x تیزی - 1)
   • -1 اور 10 کا مجموعہ لیں: (x - 1) (x + 10)۔ "بیرونی" اور "اندرونی" مصنوع کا مجموعہ دیتا ہے: 10x - x = 9x۔ یہ کام نہیں کرتا!
   • 1 اور -10 ملاحظہ کریں: (x + 1) (x - 10)۔ "بیرونی" اور "اندرونی" مصنوع کا مجموعہ دیتا ہے: -10x + x = -9x۔ یہ اب بھی نہیں جاتا ہے! آپ گزرتے ہوئے دیکھیں گے کہ یہ آخری چیک بیکار تھا۔ در حقیقت ، جوڑی (-1.10) 9x اور جوڑی (1 ، -10) دیتا ہے -9X. تو صرف ایک جوڑے کی جانچ کریں۔
   • مجموعہ -2 اور 5: (x - 2) (x + 5) لیں۔ "بیرونی" اور "اندرونی" مصنوع کا مجموعہ دیتا ہے: 5x - 2x = 3x۔ یوریکا! جواب یہ ہے: (x - 2) (x + 5).
   • اتنے ہی ترینوئیلس کے معاملے میں (x سے شروع ہوکر) ، ہم کم کر سکتے ہیں۔ صرف دو امکانی عوامل شامل کریں ، آخر میں "x" شامل کریں اور آپ کو ابھی دیکھیں کہ اگر یہ صحیح امتزاج ہے۔ وہاں آپ کرتے ہیں: -2 + 5 → 3x۔ اگر ایکس کو کسی قابلیت کے ذریعہ نشان زد کیا گیا ہے ، تو طریقہ کار نہیں کرتا ہے ، اسی وجہ سے تفصیلی طریقہ کو یاد رکھنا اچھا ہے۔

حصہ 2 مزید پیچیدہ ترنمائوں کو عنصر بنانا سیکھنا

1. 
   

   
   آپ کے سہ رخی کو ایک آسان تر سہال میں فیکٹر بنائیں۔ فرض کریں کہ آپ کو مندرجہ ذیل ٹرومامیئل عنصر بنانا ہے: 3x + 9x - 30. یہ دیکھنے کی کوشش کریں کہ آیا ان تینوں شرائط میں کوئی تفریق مشترک نہیں ہے۔ اس کے بعد ہم سب سے بڑا (اگر متعدد ہیں) لیتے ہیں ، جس میں سے اس کا نام "انتہائی عظیم کامن ڈویژن" (یا پی جی سی ڈی) ہے۔ ہماری سہ رخی میں یہ 3 ہوگا۔ آئیے اسے تفصیل سے دیکھیں:
   • 3x = (3) (x)
   • 9x = (3) (3x)
   • -30 = (3)(-10)
   • اس طرح ، 3x + 9x - 30 = (3) (x + 3x - 10) لہذا ، مذکورہ بالا طریقہ کار کے مطابق دوسری قوسین کا عنصر رکھنا آسان ہے۔ ہم مندرجہ ذیل کے طور پر حاصل کرتے ہیں: (3) (X-2) (X + 5). ہمیں نہیں بھولنا چاہئے 3 عنصر میں ڈال دیا.

2. 
   

   
   کبھی کبھی ہم اصلی تعداد ، لیکن نامعلوم کے ساتھ مقدار کا عنصر نہیں بناسکتے ہیں۔ اس طرح ہم "x" ، "y" یا "xy" میں عنصر کرسکتے ہیں۔ یہاں کچھ مثالیں ہیں:
   • 2xy + 14xy + 24y = (2Y)(x + 7x + 12)
   • x + 11x - 26x = (X)(x + 11x - 26)
   • -x + 6x - 9 = (-1)(x - 6x + 9)
   • اس کے بعد ، بالکل ، جیسے ہی ہم نے پہلے دیکھا ہے اس کی نئی ترینوئل کو عنصر بنائیں۔ چیک کرنے کے ل. دیکھیں کہ وہاں کوئی غلطی نہیں ہے۔ اس مضمون کے آخر میں تجویز کردہ مشقوں کے ساتھ مشق کریں۔

3. 
   

   
   ٹرنومئلز کو ایکس کی طرف اشارہ کرنے کی کوشش کریں۔ سیکنڈری ڈگری کے کچھ ترنمائزی عنصر لگانا زیادہ مشکل ہے ، 3x + 10x + 8. کی شبیہہ ہم دیکھیں گے کہ ہم کس طرح آگے بڑھتے ہیں ، پھر آپ آرٹیکل کے آخر میں تجویز کردہ مشقوں سے کیا تربیت کرسکتے ہیں۔ ہم کام کرنے کا طریقہ یہ ہے:
   • جوڑے کی مصنوعات سے پوچھیں: (__ __)(__ __)
   • دونوں "پہلی" شرائط میں سے ہر ایک میں "x" ہونا ضروری ہے اور دونوں کی مصنوع 3x ہونی چاہئے۔ صرف ایک ہی امکان ہے: (3x __) (x __)، 3 ایک بنیادی نمبر ہونے کے ناطے۔
   • 8 کے عوامل تلاش کریں۔ دو امکانات ہیں۔ 1 x 8 یا 2 ایکس 4.
   • جوڑے کی مستقل تلاش کرنے کے ل these یہ مجموعے لیں۔ اہم نکتہ: چونکہ نامعلوم "x" کے مختلف صابن ہیں ، لہذا مجموعہ کی ترتیب اہم ہے۔ آپ کو وسط کا اختتام یہاں 10x تلاش کرنا ہوگا۔ یہاں مختلف امتزاج ہیں۔
   • (3x + 1) (x + 8) x 24x + x = 25x نہیں!
   • (3x + 8) (x + 1) → 3x + 8x = 11x نہیں!
   • (3x + 2) (x + 4) x 12x + 2x = 14x نہیں!
   • (3x + 4) (x + 2) x 6x + 4x = 10x ہاں! یہ صحیح عامل ہے۔

4. 
   

   
   کسی انجان کی موجودگی میں ، جس کی طاقت 2 سے زیادہ ہو ، کوئی متبادل نامعلوم کو تشکیل دے سکتا ہے۔ ایک دن ، آپ کو یقینی طور پر چوتھے (ایکس) یا پانچویں ڈگری (ایکس) کی ایک ٹرمینئل لگانا ہوگی۔ مقصد یہ ہے کہ اس ترینیئل کو واپس جانے والی کسی چیز پر واپس لانا ، یعنی یہ کہنا ہے کہ ، بغیر کسی مسئلے کے عوامل کو سمجھنے کے لئے ، دوسری ڈگری کا ایک ٹرمینئل۔ مثال کے طور پر:
   • x + 13x + 36x
   • = (x) (x + 13x + 36)
   • ایک نیا نامعلوم ایجاد کریں جو مسئلہ کو آسان بنائے گا۔ ہم یہاں ڈالیں گے کہ Y = x۔ ہم نے یہ یاد رکھنے کے لئے ایک دارالحکومت Y رکھا ہے کہ یہ ایک سروگیٹی ہے۔ پھر تثلیاتی ہوجاتی ہے:
   • = (x) (Y + 13Y + 36): ہم حصہ 1 کی طرح عامل بناتے ہیں۔
   • = (x) (Y + 9) (Y + 4) اب وقت آگیا ہے کہ نامعلوم متبادل کو اس کی اصل قدر سے تبدیل کیا جائے:
   • = (x) (x + 9) (x + 4)
   • = (x) (x + 3) (x - 3) (x + 2) (x - 2)

حصہ 3 ترینوئملائزیشن کے کچھ خاص معاملات

1. 
   

   
   ممکنہ بنیادی نمبروں کی تلاش کریں۔ ملاحظہ کریں کہ کیا پہلی یا تیسری مدت کا مستقل اور / یا قابلیت بنیادی نمبر نہیں ہوگا۔ یاد رکھیں کہ جب کوئی تعداد صرف 1 یا خود ہی تقسیم ہوجاتی ہے تو اسے "اعظم" کہا جاتا ہے۔ اس تعریف سے شروع کرتے ہوئے ، اگر ہمیں مذکورہ بالا مقامات میں ایک اولین نمبر مل جائے تو ، ترینوئیل صرف بائنومیئلز کی ایک ہی مصنوع کی شکل میں عنصر پیدا کرسکتا ہے۔
   • مثال کے طور پر ، x + 6x + 5 میں ، مستقل 5 ایک اعداد نمبر ہے ، لہذا دو طرفہ مصنوعات کی شکل ہوگی: (__ 5) (__ 1)
   • 3x + 10x + 8 میں ، گتانک 3 ایک اعداد نمبر ہے ، لہذا بائنیمئلز کی پیداوار اس شکل کی ہوگی: (3x __) (x __)۔
   • آخر میں ، 3x + 4x + 1 میں ، 3 اور 1 بنیادی تعداد ہونے کی وجہ سے ، اس کا واحد ممکنہ حل ہے: (3x + 1) (x + 1)۔ تاہم ، ہمیشہ امتزاج کو چیک کریں۔ ایسا ہوتا ہے کہ کچھ ترنمائوں کو حقیقت میں نہیں رکھا جاسکتا۔ اس طرح ، 3x + 100x + 1 کو اسٹیکور نہیں کیا جاسکتا (ہم کہتے ہیں کہ یہ "ناقابل تلافی" ہے)۔ 3 اور 1 کے ساتھ ، آپ کو کبھی بھی 100 نہیں ملے گا۔

2. 
   

   
   کسی کو ہمیشہ ایک تثلیثی معاملے کے بارے میں سوچنا چاہئے جو ایک قابل شناخت شناخت کی ترقی ہوگی ، صرف اس مثال کو لینے کے ل take ایک کامل مربع۔ کامل مربع سے ہماری مراد دو بالکل یکساں جوڑے کی پیداوار ہے: (x + 1) (x + 1) جو ہم لکھتے ہیں (x + 1)۔ یہاں ان میں سے کچھ کامل چوکور ہیں۔
   • x + 2x + 1 = (x + 1) اور x - 2x + 1 = (x - 1)
   • x + 4x + 4 = (x + 2) اور x - 4x + 4 = (x - 2)
   • x + 6x + 9 = (x + 3) اور x - 6x + 9 = (x - 3)
   • ایک سہ رخی ہےx + بx + ج ایک کامل مربع کی ترقی ہے اگر ہے اور ج خود ہی مثبت مربع ہیں (جیسے 1 ، 4 ، 9 ، 16 ، 25 ...) اور اگر ب (مثبت یا منفی) 2 (xa x √c) = 2 √ac کے برابر ہے۔

3. 
   

   
   دیکھیں کہ کیا عنصر لگانا ممکن ہے؟ درحقیقت ، III ایسے تین الفاظ ہیں جن کا اندازہ نہیں کیا جاسکتا۔ اگر آپ دوسری کلیاتی شکل کلہاڑی + بی ایکس + سی کے سہ ماہی کو سمجھنے کی جدوجہد کرتے ہیں ، کیونکہ کوئی واضح جڑیں نہیں ہیں تو ، آپ کو امتیازی سلوک (Δ) طریقہ استعمال کرنا ہوگا۔ مؤخر الذکر کا حساب مندرجہ ذیل ہے: Δ = √b - 4ac۔ اگر Δ <0 ، تو ترینیئئل کو حقیقت میں نہیں رکھا جاسکتا۔
   • ایسے ترینوئیلس کے لئے جو سیکنڈ ڈگری نہیں ہیں ، "ٹپس" سیکشن میں بیان کردہ آئزنسٹین کا معیار استعمال کریں۔